1. Аутентификация приложения.  Создаем приложение Dropbox с необходимым уровнем доступа - отдельная папка или весь Dropbox. У нас уже есть два ключа (APP_KEY, APP_SECRET) для аутентификации приложения. Теперь нужно разрешить приложению доступ и получить еще два ключа (разумеется, это делается один раз):

private DropboxAPI<WebAuthSession> auth() throws DropboxException, IOException {

//известные ключи и тип доступа
final String APP_KEY = "";
final String APP_SECRET= "";
final AccessType ACCESS_TYPE = AccessType.DROPBOX;

AppKeyPair appKey;

appKey = new AppKeyPair(APP_KEY, APP_SECRET);
WebAuthSession session = new WebAuthSession(appKey, ACCESS_TYPE);

WebAuthSession.WebAuthInfo info = session.getAuthInfo();

System.out.println("1. Перейдите по ссылке: " + info.url);
System.out.println("2. Разрешите доступ приложению.");
System.out.println("3. Нажмите ENTER");

System.in.read();

//полученные ключи
System.out.println("Access Key: " + session.getAccessTokenPair().key);
System.out.println("Access Secret " + session.getAccessTokenPair().secret);

DropboxAPI<WebAuthSession> api = new DropboxAPI<WebAuthSession>(session);

return api;
}

2. Пример загрузки файлов из директории Dropbox. Вот так можно загрузить все файлы из указанной папки Dropbox:

/**
     * Загрузить файлы из директории Dropbox в локальную директорию
     * @param dbDir Директория Dropbox
     * @param localDir Локальная директория для сохранения файлов
     * @return Список имен файлов в локальной директории, которые были загружены
     * @throws DropboxException
     */
    public List<String> getFiles(String dbDir, String localDir)
                                                       throws DropboxException {
       
        //максимальное количество элементов в директории Dropbox,
        //которые будут загружены
        final int MAX_FILE_LIST = 1000;
       
            List<String> result = new ArrayList<String>();
       
            Entry metadata =
                          api.metadata(dbDir, MAX_FILE_LIST, null, true, null);
            List<Entry> objList = metadata.contents;
           
            for(Entry buff: objList) {
   
              File lDir = new File(localDir);
              if (!lDir.exists())
                new File(localDir).mkdir();
               
              File outFile = new File(localDir, buff.fileName());
              OutputStream outStream;
               
            try {
               
              outStream = new FileOutputStream(outFile);
              //api создаем после аутентификации приложения
              api.getFile(dbDir + "/" + buff.fileName(), null, outStream, null);
              result.add(buff.fileName());

            } catch (FileNotFoundException e) {
                e.printStackTrace();
            }
        }

        return result;
    }

Ну вот, это были самые простые примеры, "для старта". А дальше вы найдете все необходимое в документации :).